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TIPO
Tesis de Maestría
TÍTULO
Modelación estadística del cociente de medias B de dos variables aleatorias normales
AUTOR
Rubio Álvarez, Francisco Javier.
ASESORES
Díaz-Francés Murguía, Eloisa.
INSTITUCIÓN
Centro de Investigación en Matemáticas (CIMAT)
FECHA
2008-01-01
PAIS
México
TEMAS
Inferencia, Cociente de Medias, Cociente de Normales, Aproximación Normal, Verosimilitud.
DESCRIPCIÓN
En diversas áreas de aplicaciones, pero de manera especial en la Citometría de Flujo para estimar el ADN nuclear de una planta, resulta de interés estimar la razón de medias β de dos variables aleatorias normales X,Y, cuando se cuenta con observaciones pareadas de dichas variables. También interesa comparar si k grupos o poblaciones distintas comparten un mismo valor de β, y de hecho es importante poder cuantificar las diferencias que haya. Debido seguramente a una confusión matemática que prevalece, en la literatura de Citometría se procede a analizar la razón Z=X/Y como si también fuese distribuída como una variable aleatoria normal cuya media es precisamente el parámetro de interés β con el cual se estima el ADN de la planta de interés. Con ello simplifican la dimensión del problema, pues ya solamente hay que tratar con una variable. Así, para comparar el parámetro β entre distintos k grupos de interés (por ejemplo plantas jóvenes y adultas), proceden a aplicar un Análisis de Varianzas (ANOVA) para evaluar la hipótesis nula de igualdad de estas medias β en todos los grupos. En el caso de no rechazar la hipótesis nula, entonces frecuentemente proceden a juntar todas las observaciones z (pues hay un valor por cada par de observaciones x,y) y entonces estiman β de manera puntual con la media aritmética zbarra. Este error de aplicación en un área científica importante fue lo que motivó el presente trabajo. Si bien es cierto que la distribución de Z tiene como un parámetro a β y que su forma puede ser acampanada y simétrica bajo ciertas condiciones en los otros dos parámetros que la rigen, también es cierto que esta distribución no es normal y que puede ser marcadamente asimétrica e incluso bimodal. Es un hecho que Z no tiene ningún momento finito. En este trabajo se intenta cuantificar el error que han cometido los científicos en la literatura de Citometría de Flujo, y presentar una forma alternativa mejor de estimar β a través de la verosimilitud perfil del modelo normal completo. En contraste con realizar un ANOVA, las gráficas de las perfiles de β para cada grupo de los k de interés permiten comparar la información contenida en los datos sobre estos parámetros β, posiblemente diferentes para cada grupo, de manera mucho más clara y útil. No es necesario que se cumpla el supuesto de normalidad para Z, ni que se tenga la misma varianza en todos los grupos; más aún, las muestras pueden ser muy pequeñas, aún de dos parejas de observaciones como se mostrará en un ejemplo. De manera adicional, se caracteriza en este trabajo la relación entre la forma de la densidad de Z y los valores de sus parámetros. También se muestra una aproximación normal a esta densidad que puede ser razonable en un intervalo centrado en la moda de la densidad, bajo ciertas condiciones de los parámetros..
EDITOR
Centro de Investigación en Matemáticas A.C. (Guanajuato, Gto.)